[박수칠] 놓치기 쉬운 개념/유형 3가지 (3편)
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6월 평가원 모의고사가 얼마 남지 않았습니다.
준비는 잘 하고 계신가요? ^^
학습에 조금이라도 보탬이 될 수 있도록
순열과 조합 단원에서 쓸 수 있는 몇 가지 접근법을 정리했으니
시간날 때 천천히 읽어보시기 바랍니다. (어려운 내용은 없습니다 ^^)
(1) 경우의 수를 셀 때, 실험이나 관찰의 결과를 다양한 관점에서 표현해보자.
다음은 2016학년도 수능 6월 모평 B형 9번 문제입니다.
문제를 풀기 위해 연필 5자루를 a, b, c, d, e로 두고,
학생 A, B, C, D에게 모두 나눠준 결과를 순서쌍
로 표현하면 학생 1명이 2자루 이상의 연필을 받는 경우를 나타내기가 어렵고,
순서쌍의 개수를 세는 것도 복잡합니다.
(예를 들어 학생 A, B, C, D가 각각 3자루, 1자루, 1자루, 0자루의 연필을 받는 것을
순서쌍 (3, 1, 1, 0)으로 표현하면 학생 A, B, C가 어느 연필을 받는지를 따로
고려해야 합니다.)
그렇다면 순서쌍을 만들 때, 학생을 기준으로 하지 말고,
연필을 기준으로 해봅시다.
이를 위해 연필을 나눠준 결과를 순서쌍
으로 두고, 몇 가지를 나열하면 다음과 같습니다.
(A, B, C, D, A), (A, A, B, B, B), (A, A, A, A, A), …
따라서 연필을 나눠주는 방법의 수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
연필 a를 받을 수 있는 학생 4가지,
연필 b를 만들 수 있는 학생 4가지,
… ,
연필 e를 받을 수 있는 학생 4가지이므로
곱의 법칙에 따라 4⨉4⨉4⨉4⨉4=1024
그럼 한 문제 더 봅시다.
다음은 2005학년도 수능 가형 이산수학 28번 문제입니다.
순서쌍 (A, B)의 개수를 세기 위해
가능한 집합 A, B부터 몇 가지 나열하면 다음과 같습니다.
여기서 집합 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }의 원소 가운데 몇 개는 집합 A에 속하고,
다른 몇 개는 집합 B에 속하며, 어느 집합에도 속하지 원소가 있을 수도 있습니다.
집합 A 또는 집합 B가 공집합일 수도 있죠.
이처럼 순서쌍을 만든 결과를
두 집합 A, B가 1~6 가운데 어느 것을 원소로 갖는지로 표현하면
집합 A의 각 경우마다 집합 B의 경우를 따져야 하므로
경우의 수를 세는 것이 복잡해집니다.
그럼 순서쌍을 만든 결과를 집합 대신 원소를 기준으로 표현해봅시다.
무슨 얘기냐 하면
두 집합 A, B가 1~6 가운데 어느 것을 원소로 갖는지를 표현하는 대신,
원소 1~6이 어느 집합에 속하는지로 표현하자는 것입니다.
앞에서도 말했다시피
1~6 중에는 집합 A, B 어느 쪽에도 속하지 않는 것이 있을 수 있으므로
집합 A∪B의 여집합을 집합 C로 두면 1~6이 속하는 집합을
다음과 같이 표현할 수 있습니다.
그렇다면 순서쌍 (A, B)의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
1이 속할 수 있는 집합이 3가지,
2가 속할 수 있는 집합이 3가지,
… ,
6이 속할 수 있는 집합이 3가지이므로
곱의 법칙에 따라 3⨉3⨉3⨉3⨉3⨉3=729
(2) 수형도를 작성할 때 불규칙적인 부분은 왼쪽으로 몰아준다.
다음은 2009학년도 수능 6월 모평 가형 이산수학 28번 문제입니다.
조건 (가)~(다)를 보면
문자 a, b, c가 들어갈 수 없는 위치가 주어져 있습니다.
따라서 a, b, c의 위치에 따라 경우를 나누면서 다음과 같이 풀 수 있죠.
세 문자의 위치가 제한되다 보니 구분해야 할 경우가 너무 많아 보입니다.
이럴 땐 차라리 수형도를 그리는 편이 속편할 수도 있죠.
이때, 수형도를
와 같이 작성하면 a 또는 b 또는 c가 들어갈 수 없는 위치인
첫째 자리, 셋째 자리, 다섯째 자리가 띄엄띄엄 놓여있기 때문에
전체적으로 불규칙적인 모양을 가지면서 문자열의 수를 세는 것이 복잡해집니다.
하지만 첫째 자리, 셋째 자리, 다섯째 자리를 수형도의 왼쪽으로 몰아주면
다음과 같이 오른쪽이 규칙적인 모양을 가지면서 문자열의 수를 세는 것이 쉬워집니다.
따라서 모든 문자열의 개수는 2⨉14=28입니다.
이처럼 대상을 나열할 때 위치를 바꿔서 수형도를 작성하는 방법은
다음 문제와 같이 특정 대상끼리 이웃하지 않아야 하는 상황에서는
헷갈릴 수 있으니 주의해야 되겠죠?
(참고로 2009학년도 수능 6월 모평 나형 25번 문제입니다.)
(3) 같은 것이 있는 순열의 수는 조합으로도 셀 수 있다.
서로 다른 n개의 대상 가운데 같은 것이 각각 p, q, … , r씩 있을 때,
n개의 대상 전부를 한 줄로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다.
(단, p + q + … + r = n)
예를 들어 10개의 문자 a, a, a, a, b, b, b, c, c, d를
한 줄로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다.
그런데 이 순열의 수는 다음과 같이 조합으로도 셀 수 있습니다.
이처럼 같은 것이 있는 순열의 수를 조합으로 세는 방법을 알아두면
특정 대상의 상대적인 위치가 정해진 순열 문제에
보다 쉽게 접근할 수 있습니다.
다음 예제를 봅시다.
이 문제를 같은 것이 있는 순열로 접근하면 다음과 같습니다.
그런데 주어진 문제로부터 같은 것이 있는 순열을 바로 떠올리기는 어렵고,
세 자음 D, J, N을 D, D, D로 통일하는 과정이 필요합니다.
하지만 조합을 이용하면 별다른 과정 없이
순열의 수를 바로 구할 수 있습니다.
오늘은 여기까지입니다.
6평 착실하게 준비하시고, 좋은 결과 얻으시길 바랍니다 ^^d
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사서 볼지.. 나중에 피디에프로 풀지 고민이네요 현장응시는 아니고 개인으로..
좋은 글 잘 읽었습니다 ㅎ 감사합니다
오~ 인기 폭발 규토님 감사합니다!
시그너처 링크 연결 잘 되네요 ^^
알려주셔서 감사합니다 ㅎㅎ :D
센스가돋보이는풀이!
감사합니다!
21번 순열조합 답 1번 예상
확통이 21번에 나온다면...
난이도 맞추기 위해 얼마나 복잡해질지 예상이 잘 안되네요.
쉬운수능기조지만 확통10문제크리로 1컷최대92예상합니다
음... 저는 가형 미적2 11문제, 확통 9문제, 기벡 9문제, 1컷 96이요!
1문제 증발!
ㅋㅋㅋ 손가락이 삐끗해서 그런겁니다!
가형 미적2 12문제, 확통 9문제, 기벡 9문제, 1컷 96이요!
우어 감사합니다
와우~ 저도 읽어주셔서 감사드립니다.
3번 같은 문제 풀때 아 이거 중복순열말고 다르게 푸는법이 있을까 생각이 자꾸 들었는데 이거였네요! 득도하고 가요 ㅎㅎ
깨달음을 얻으셨다니 글 쓴 보람이 있네요.
읽어주셔서 감사합니다 ^^
와 확통고자한테 정말 도움이 되는 자료네요 ㅠㅠ감사합니디
글 쓰면서 대부분 알고 있을 내용이 아닐까 했는데
역시 필요로 하는 분이 있군요.
차근차근 읽어보시고, 궁금한 부분은
언제든 질문주세요 ^^
수형도 문제 오늘 꽤 고민하다가
결국 b는 2,4번째칸에 넣을수 있으니 곱의법칙으로 2곱하면서 시작한 뒤
조건이 붙는게 a,c니까 a,c에 따라서 수형도 그리자라고 결론 내렸는데
칼럼으로 보니 한결 명쾌해지네요 왼쪽으로 몬다.. 꿀팁얻어갑니다
그 문제로 고민하셨다니 타이밍이 딱 맞았네요!
읽어주셔서 감사합니다 ^^
GOAT
감사합니다 ^^d
2번째 문제에 서로소인 부분집합이라고 되어있는데 둘다 공집합인것도 서로소가 되나여??
'두 집합 A, B가 서로소'라는 것은
A, B에 공통인 원소가 없을 때를 의미하기 때문에
둘 다 공집합인 경우도 해당되죠~
Goat..확통 고잔데 감사드려영
네! 저도 읽어주셔서 감사드립니다 ^^
확통 엄청 못하는데 확통만보면 머리가 하얘져요 탈출비법같은거 없나요? ㅜㅜ 자꾸 생각을 이상하게하네요. 학원샘도 저보고 쓸대없이 어렵게 푼다고해요..
순열과 조합, 확률 단원의 경우에는
개념이 비교적 쉬운 반면에 문제가 변화무쌍하기 때문에
많은 문제를 풀면서 유형별 접근법을 정리해야 합니다.
순열, 조합, 분할 단원마다 대표 유형들을 익혀두고,
주어진 문제가 대표 유형 가운데 어느 것에 해당되는지를 파악해서
접근하는 식으로 연습해야겠죠.
대표 유형에 해당되지 않는 문제는 따로 정리하면서 공부하면 되구요.
반대로 통계는 개념이 상당히 어렵고 문제가 쉽기 때문에
개념과 대표 유형을 반복하면서 개념을 깊이 있게 이해하는 것이 중요합니다.
개념만 제대로 이해하면 기출 문제 중에 안풀리는 것이 거의 없어요.
ㅜㅜ 마플 확률과통계 우형별정리 깔끔하게 정리하면 어느정도 해결되겟죠?? 박수칠님이 말씀한대로 딱 문제보자마자 유형정리가 안되는건 확실한거 같습니다..
마플이면 넘치면 넘쳤지 절대 모자라진 않죠.
그리고 유형을 정리할 때
해설지에 있는 풀이에 따라 정리하는 것이 아니라
그 풀이가 왜 나왔는지 접근 방법에 따라 정리해야 됩니다.
순열과 조합 단원이라면 주어진 실험/관찰의 특성이나,
몇 가지 결과를 나열했을 때의 규칙 등을 파악해서
접근 방법을 정리해야죠.
뒤 문제들을 보니 박수칠 수학 확통 이 나오겠군요..미적2 잘보고있습니다.
박수칠 수학 확통편에 들어가는 문제 맞습니다 ^^
그런데 9월 출판 예정이라 올 수능 준비하는 분들에겐 많이 늦죠.
박수칠 수학 구입해주셔서 감사합니다!
지금 박수칠 미적1 사면 발견된 오타는 다 수정 되있는거 맞나요??
아뇨... 지금 판매중인 것은 1쇄라 오타가 그대롭니다.
그리고 여러 사정상 오타가 수정된 2쇄는 못나올 것 같구요,
내년에 2판으로 판올림하게 될 것 같습니다.
잘읽었습니다! 제가 시간 오래걸린 문제 다 여기있는듯 싶어요ㅎㅎ...
여담이지만 풀었던 문제는 푼적이 있었다는 사실은 기억이 나는데 방법이 전혀 기억이 안나요.. 한 5번째 풀때 되서야 이렇게 풀면 쉽나? 이런생각이ㅠㅠ
그래서 글에 있는 2009년 6월모평 나형 25번도 잘 모르겠네요 공부 더 열심히 해야겠어요ㅠㅠ
기출을 반복할 때 '풀이'를 바로 떠올리기 보다는
왜 그 풀이가 나와야하는지 '접근 방법'을 따지는 쪽으로 공부해야 하는데
익숙해지기 전까진 좀 어렵죠.
어쨌든 계속 반복하면서 이해도를 높이는 것이 중요하니
꾸준히 한다면 어느 순간 머리가 확 트이게 될 겁니다 ^^